1.1. Angabe der Vektoren aus Winkelbestimmungen

Ein Vektor v kann angegeben werden (a: horizontaler Winkel, b <= 90: vertikaler Winkel):

• v(a,b) = ( 1 , tan(90 - a) , tan(b)/cos(90 - a) ) , für 0 <= a <90; b ≠ 90
• v(a,b) = ( 1 , 0 , tan(b) ) , für a = 90; b ≠ 90
• v(a,b) = ( 1 , tan(a - 90) , tan(b)/cos(a - 90) ) , für 90 < a < 180; b ≠ 90
• v(a,b) = ( -1 , tan(90 + a) , tan(b)/cos(90 + a) ) , 0 > a >= -90; b ≠ 90
• v(a,b) = ( -1 , 0 , tan(b) ) , für a = -90; b ≠ 90
• v(a,b) = ( -1 , tan(-a - 90) , tan(b)/cos(- a - 90) ) , für -90 > a > -180; b ≠ 90
• v(a,b) = ( 0 , 0 , 1 ) , für b = 90

Hierdurch lassen sich sowohl der Richtungsvektor der Sonnenstrahlen als auch der Normalvektor zur Dachfläche angeben.

• vn = v(Ausrichtung,90-Dachneigung)
• vs = v(Azimut,Altitude)

1.2. Berechnung der Sonnenposition (Azimut und Altitude)

Für die Errechnung der Komponenten der Sonnenposition, also Azimut und Altitude, sind weitere z.T. umfangreiche Formeln erforderlich. Diese können auch über das Web nachgefragt werden. Die Sonnenposition ist abhängig von der geographischen Länge (l), der geographischen Breite (b(offiziell)), von der Tageszeit (z) und dem Datum.

Aus dem Datum werden ermittelt die Tagnummer (tn = Tagnummer) und die zugehörigen Werte:

• Anpassung der Breitengradgröße (b) mit der Formel:
  
  b = b(offiziell) + 0.1924 * sin(2 * b(offiziell))
  
  Dies Anpassung hat ihren Grund in der Abplattung der Erde (Umrechnung: geographische in geozentrische Breite)
  
  
• Die Deklination (d) als Maßstab der Jahreszeit
  
  d = 23.4° * sin(360 * (284 + tn) / 365) 
  
  
• Die Zeitgleichung (zgl) gleicht die unterschiedliche Taglängen aus
  
  zgl = 8 * sin(360 / 365.25 * (tn - 185)) + 10 * sin(720 / 365.25 * (tn - 79)) 
  
  
• Die Berechnung des Kulminationszeitpunktes (zk):
  
  zk = 13 - (zgl + 4 * l) / 60 + Ganzzahl((l - 7.5) / 15) + ev Sommerzeit (1h) 
  
  
• Der Tageswinkel (tw)
  
  tw = arccos{ [sin(-0.833) - sin(b) * sin(d) ] / [ (cos(b)*cos(d) ] }
  
  
• Der Ostpunkt (oP) (b < -23,4° und b > 23,4°)
  
  op = -1 * arccos(tan(d)/tan(b))
  
  
• Der Westpunkt(wP) (b < -23,4° und b > 23,4° )
  
  wP = arccos(tan(d)/tan(b))

Für den Zeitpunkt (z) eines Tages im Jahr können die folgenden Werte ermittelt werden

• Stundenwinkel (sw(z,zk))


sw(z,zk) = (z - zk) * 15


• Die Altitude (altitude)


altitude(z,zk)) = arcsin[cos(d) * cos(sw(z,zk))* cos(b) + sin(d) * sin(b)]


• Stundenwinkel (sw)


Der Azimut (azimut)

az(z,zk) = arcsin[cos(d) * sin(sw(z,zk)) / cos(altitude(z,zk)]

a) Die Sonne im süd/östlichen, bzw. im südwestlichen Quadranten (oP <= sw(z,zk) <=wP)

Es gilt: azimut (z,zk) = az(z,zk)

b) Die Sonne im nord/östlichen Quadranten ( sw(z,zk) < oP)

Es gilt: azimut(z,zk) = -180 - az(z,zk)

c) Die Sonne im nord/westlichen Quadranten (sw(z,zk) > wP)

Es gilt: azimut(z,zk) = 180 - az(z,zk)

1.3. Berechnung der wahren Sonnenstunden eines Tages

Diese Zahl wird angenähert durch die Berechnung der Fläche der Treppenfunktion unter der Kurve, die sich aus der wahren Fläche zum Tageszeitpunkt und Datum ergibt. Dabei wird je nach Auswertung mit unterschiedlichen Genauigkeiten gerechnet. Es wurden folgende Schrittweiten gewählt:

• 1/100 Std. im Sonnenrechner und bei der Erstellung des Tagesdiagramms
• 1/10  Std. bei Erstellung der Monatsauswertung
• 1/2 Std. bei Erstellung der Jahresauswertungen

Die unterschiedlichen Schrittweiten empfahlen sich zur Optimierung der Laufzeiten der Scripts. Die sich daraus ergebenden Differenzen sind jedoch nicht gravierend.

2. Der Sonnenrechner

Nach Anpassung des Datums und Eingabe der Werte für die geographische Lage (Breite, Länge) und die Werte für Dachneigung und Dachrichtung zeigt der Sonnenrechner folgende kritische Werte an:

• Tagnr. = Nummer des Tages im laufenden Jahr
• Zeitgl. = Wert der Zeitgleichung (Ausgleich der Taglänge aufgrund der eliptischen Erdbahn)
• Deklination = Winkel der Sonnenbahn zur Erdbahn
• Kulmination = Zeitpunkt, zu dem die Sonne ihren höchsten Punkt erreicht
• Tageswinkel = Winkel der sichtbaren Sonnenbahn
• Stundenwinkel = Winkel der Sonnenposition zum angegeben Zeitpunkt zum Kulminationspunk
• Ostpunkt = Stundenwinkel, für den Fall dass die Sonne genau im Osten steht
• Westpunkt = Stundenwinkel, für den Fall dass die Sonne genau im Westen steht
• S.-aufgang = Zeitpunkt des Sonnenaufgangs
• S.-untergang = Zeitpunkt des Sonnenuntergangs
• Altitude = Höhe der Sonnenposition
• Azimut = Horizontale Sonnenposition
• wahre Fläche = Koeffizient für die wahre Fläche zum angegebenen Zeitpunkt
• Sonnenstunden absolut = Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang
• Sonnenstunden wahr = Gesamtzeit der wahren Sonneneinstrahlung, diese errechnet sich aus der Fläche des Graphen für die wahre Fläche im Tagesverlauf 

Die Angaben sind stets dezimal. Für 9h15 gibt man 9.25 ein. Für 48 Grad, 53'  gibt man etwa 48,9 Grad ein.

Mithilfe des Sonnenrechners lassen sich die Dachneigung und die Dachrichtung ausrechnen. Dazu ermittelt man die Zeit, zu der Schatten des Hauses parallel zum Hause verläuft. Die Dachrichtung ist identisch mit dem Azimut. Zu ermitteltem Azimut ermittelt man die Zeit, zu der das Dach (bei südwestlicher Ausrichtung) aus seinem Schatten tritt, bzw. bei (südöstlicher Ausrichtung) in seinen Schatten tritt und setzt diesen Zeitpunkt im Sonnenrechner ein. Daraufhin variiert man die Werte für die Dachneigung. Der Wert, für den man dann den kleinsten positiven Wert für die wahre Fläche erhält ist dann ein guter Wert für den Winkel der Dachneigung.

3. Die Auswertungen

Folgende Auswertungen werden angeboten:

• Tagesdiagramm: Es zeigt den Verlauf der wahren Fläche entsprechend der gemachten Angaben für einen bestimmten Tag an. Dazu ist noch eine stundenbezogene Auswertung aufrufbar.
• Sonnenlauf: Es zeigt den Lauf der Sonne von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang am jeweiligen Tag. Dazu wird ein Diagramm zum Verlauf der Deklination im Jahresverlauf angezeigt.
• Monatsauswertung: Zeigt die wahren Sonnenstunden für die Tage eines Monats an
• Jahresauswertung: Zeigt die wahren Sonnenstunden für die Monate eines Jahres an
• Jahresdurchschnittswerte: Hier finden sich zwei Diagramme. Im ersten werden die durchschnittlich zu erwartenden wahren Sonnenstunden für die Tage der Monate eines Jahres angezeigt, im zweiten der Relativ zu erwartende Sollertrag pro Monat. Die Diagramme differieren stark. Dies hat anscheinend seine Ursache in den unterschiedlichen Witterungsbedingungen der Jahreszeit. In den Frühlings- und Sommermonaten ist wohl die relative Sonnenscheindauer größer zu sein als in den Herbst- und Wintermonaten. 
• Kalkulation: Nach Angabe der spezifischen Daten zur Beschreibung einer Anlage lassen sich Auswertungen bezüglich dem Geldfluss und der Rentabilität durchführen. Die Parameter können beliebig verändert werden. Die Speicherung der Parameter zur Beschreibung der Anlage ist ermöglicht, falls die Browsereinstellungen Cookies erlauben.
• Solaranlage: Auswertung der Einspeise-Erträge einer Solaranlage.

Als Monat wird der im Datumsfeld vorgegebene Monat ausgewertet. Als Jahr wird das im Datumsfeld vorgegebene Jahr ausgewertet. Alle Auswertungen berücksichtigen die Tatsache, ob es sich um ein Normaljahr (365 Tage) oder ein Schaltjahr (366 Tage) handelt.

Es kann sein, dass die Auswertungen aufgrund der umfangreichen Rechenarbeit etwas auf sich warten lassen. Das Script sollte daher nicht abgebrochen werden.

4. Anmerkungen

• Koordinatensystem
  Das vorausgesetzte Koordinatensystem hat als Bezug die Richtung zum Süden.
  
  
• Die Himmelsrichtungen (Angaben zum Dach/Sonnenstrahlen)
  Nordöstliche Ausrichtung (Wertebereich: -180 <= x <= -90)
  Südöstliche Ausrichtung (Wertebereich: -90 < x <= 0)
  südwestliche Ausrichtung (Wertebereich: 0 < x <= 90)
  nordwestliche Ausrichtung (Wertebereich: 90 < x < =180)



• Ortsposition:
  Werte für große Städte können Sie der Tabelle entnehmen. Diese sind zuvor in Dezimalwerte umzuwandeln.



• Zeit:
  Der Schalter ermöglicht zwischen MEZ (Mitteleuropäische Zeit) und MESZ (Mitteleuropäische Sommerzeit) umzuschalten.



• Aktualisieren nach Änderungen:
  Normalerweise sind die Eingabefelder so geschaltet, dass nach Änderungen bei den Eingabefeldern die Aktualisierung der Werte erfolgt. Durch Klicken der Taste mit dem c (compute) wird die Aktualisierung auf jeden Fall ausgeführt.



• Einschränkungen:
  In der Untersuchung sind verschiedene atmosphärische Faktoren nicht berücksichtigt, die die Sonneneinstrahlung beeinflussen (z.B. Unterschied zwischen direkter und diffuser Sonneneinstrahlung, Witterungsbedingungen, Abschwächung durch die Atmosphäre-Dichte, Trübung, relative Sonnenscheindauer). Dazu sei folgendes Dokument empfohlen: Berechnung der direkten Sonneneinstrahlung in Deutschland, Österreich und der Schweiz (Publikation des geobotanischen Instituts, ETH Zürich, Autoren: Hagen S. Fischer und Hans Gilgen)



• Keine Garantie:
  Ansonsten wird keine Garantie hinsichtlich der Richtigkeit der ausgegebenen Werte gegeben. Es liegt in der Verantwortung des Nutzers selbst, die Werte zu interpretieren.